今現在、活発に更新されている軽量なLINUXの一覧を載せておきますね。
なお、特記していないものについては日本語対応です。
試した順番、試そうとしている順番で書いてます。

１．NN Linux
ベータ版のためインストールできるバージョンとできないバージョンがあるようです。
私のPCではNN Linux Beta10が動作しました。
日本語ですぐに使えるLinuxの中では最軽量だと思います。
公式サイト

２．PepperMint OS
NN Linuxと比べて少しもっさりしている感じがします。
こちらはある程度歴史が長く安定したディストリビューションなので安定かつ軽量を求める人には
おすすめです。
公式サイト

３．Deepin
MacやWindowsにはない独特で美しいGUIであるDDEを搭載したLINUX。
他にDDEを搭載したディストロはUbuntu DDEがあるが、DDEはDeepinのために作られたシステムであるので細部に渡って最適化されているしDebianがベースであるためそこそこ軽量です。
公式サイト

４．Debian
このリストの中では最も名の知れたLinuxだと思います。
Ubuntuなど多くのLinuxの始祖とも言えるものですが、非常に軽量です。
古いPCにLinuxをインストールしたいときはまずはじめにこれを試すと良いでしょう。
公式サイト

５．SliTaz
超軽量なLinuxです。
システムは入れてからすぐに日本語で動作できるわけではなく、ランゲージの変更（以前はpuppyのsfsを用いてやっていたが今はSliTaz本体に付属しているツールを使う）が必要である。
また、anthyやmozcがディストロにないのでソースを自らビルドしなければ日本語入力はできない。
公式サイト

６．PuppyLinux
かなり軽量で安定しています。
日本語版公式サイトの更新はずいぶん前に停止していますが最新版は非公式に日本語化されています。
公式サイト　　非公式の日本語版

７．OpenSUSE
普通にインストールすると軽量ではありませんが、インストール時にGNOMEデスクトップのチェックを外してXfceに変更するとかなり軽いです。
公式サイト

８．LinuxMint
他のサイトで軽量Linuxであると紹介されていたのでインストールしてみたら案外重かった。
少し古いPCで使うのに適していると思います。
公式サイト

９．SlackWare
最も古くからあるLinuxです。
軽量ですが何もついていません。
コマンドラインの操作が上手くなります。
公式サイト

１０．AbusoluteLinux
インストールしたことないから日本語に対応しているかは不明。
SlackWareベースなのでソフトのインストールがコマンド必須で大変かも知れません。
公式サイト




この中でおすすめな順番としては。
Debian→PepperMint→LinuxMint→Puppy→NN
です。
軽量な順番（２０２０年４月以降に試していないものは除く）としては、
SliTaz→Puppy→NN→PepperMint→Debian
です。インストールしているソフトによって変わります。